Esperança Matemática

O conceito de Esperança Matemática em probabilidade é associado ao conceito de Média em estatística.

É que média é quando eu tenho dados, aí eu somo todos e divido pelo número de dados que eu tenho. Fazendo isso, eu tiro a média, como dizemos. Aí eu posso usar esse valor como um valor substituto de todos os outros e fazer cálculos com ele.

Já a Esperança é quando eu tiro a média dos valores que eu tenho para um mesmo evento e então eu posso esperar que tendendo o número de experimentos ao infinito, o resultado do evento seja igual a esperança. Por isso a Esperança também é conhecida como Valor Esperado ou Expectância.

De uma forma mais "rigorosa" para entender a definição de Esperança, vamos supor um exemplo:

Imagine que eu tenho uma máquina que atira papeis numerados, e dentro dessa máquina eu tenho 10 papéis: um numerado com o número 1; dois numerados com o número 2; três numerados com o número 3; e quatro numerados com o número 4.
Nessa situação, imaginando que a máquina atire os papeis aleatoriamente, e sabendo que há 10 papéis dentro da máquina, temos que a probabilidade de qualquer papel ser lançado é de 1/10. Então, podemos perguntar: qual o valor esperado no lançamento de um papel?

Sabemos que:

  • A probabilidade de um papel com o número 1 ser lançado é 1/10;
  • A probabilidade de um papel com o número 2 ser lançado é 2/10;
  • A probabilidade de um papel com o número 3 ser lançado é 3/10;
  • A probabilidade de um papel com o número 4 ser lançado é 4/10.
Assim, podemos calcular a Esperança Matemática como:

E(x) = 1*{1 \over 10} + 2*{2 \over 10} + 3*{3 \over 10} + 4*{4 \over 10}

ou

E(x) = {(1*1)+(2*2)+(3*3)+(4*4) \over 10}

Essa conta é, na verdade, cada evento multiplicado pela sua quantidade de acontecer e dividida pela quantidade total de possibilidades. Ou, se pensarmos de outra forma, é cada evento multiplicado pela sua probabilidade de acontecer. O resultado é E(x) = 3. Isso não significa que 3 tem mais chance de ocorrer. Na verdade, 4 tem mais probabilidade que 3. Porém, os valores 1, 2 e 3 puxam a média para baixo e a 3 acaba se tornando o valor central.

Colocando de uma forma mais genérica, fora do exemplo, a equação para a Esperança é a seguinte:

E[X]=\sum_{i=1}^{\infty} x_i p(x_i)     ou para valores contínuos,     E[X]=\int_{-\infty}^\infty x f(x)dx
Onde p(x) e f(x) são a função de probabilidade para cada x.

Paztejamos

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